Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A( 1; - 2 )B( 4;1 )C( 4; - 5 ) a) Chứng minh ABC là ba đỉnh của mộ
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( {1; - 2} \right),\,B\left( {4;1} \right),\,C\left( {4; - 5} \right)\)
a) Chứng minh \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Tìm tọa độ điểm I.
c) Xét hình thang ABCD với hai đáy AB và CD thỏa mãn \(AB = 2CD\). Tìm tọa độ đỉnh D.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a)\(\overrightarrow {AB} = \left( {3;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 3} \right)\)
Do \(\frac{3}{3} \ne \frac{3}{{ - 3}} \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Hay A, B, C là ba đỉnh của tam giác.
Tọa độ trung điểm của BC là \(I = \left( {\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{4 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2}} \right) = \left( {4; - 2} \right)\)
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {\frac{{1 + 4 + 4}}{3};\frac{{ - 2 + 1 - 5}}{3}} \right) = \left( {3; - 2} \right)\)
b)
\(\begin{array}{l}I\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 2 - y} \right);\overrightarrow {IB} = \left( {4 - x;1 - y} \right);\overrightarrow {IC} = \left( {4 - x; - 5 - y} \right)\\\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \left( {13 - 4x; - 11 - 4y} \right)\\ \Rightarrow \left( {13 - 4x; - 11 - 4y} \right) = \overrightarrow 0 = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 4x = 0\\ - 11 - 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{4}\\y = - \frac{{11}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{4}; - \frac{{11}}{4}} \right)\end{array}\)
c)\(D\left( {x;y} \right)\). Theo giả thiết ta có AB = 2CD và ABCD là hình thang nên \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {DC} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x, - 5 - y} \right)\\\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left( {3;3} \right) = 2\left( {4 - x; - 5 - y} \right) \Leftrightarrow \left( {3;3} \right) = \left( {8 - 2x; - 10 - 2y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 - 2x = 3\\ - 10 - 2y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\end{array}\)