Trên mặt phẳng tọa độ Oxy hai đường thẳng ( d1 ):y = ( m^2 + 1 )x - 2m và ( d2 ):y = ( m + 3 )x - m

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

1. Tìm \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right).\)

Để \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right)\) thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 = m + 3\\ - 2m \ne - m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 = 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy \(m = - 1\) thì \(\left( {{d_1}} \right)\) song song với \(\left( {{d_2}} \right)\).

2. Chứng minh: với mọi \(m\) đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua đi qua \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {y_0} = \left( {m + 3} \right){x_0} - m - 2\) đúng \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m{x_0} + 3{x_0} - m - 2 - {y_0} = 0\) đúng \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 1} \right) + 3{x_0} - 2 - {y_0} = 0\) đúng \(\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 0\\3{x_0} - 2 - {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\3.1 - 2 - {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 1\end{array} \right.\)

Vậy với mọi \(m\) đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) luôn đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) cố định.

3. Tìm \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) thỏa mãn \(A = 2020{x_M}\left( {{y_M} + 2} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\):

\(\begin{array}{l}\left( {{m^2} + 1} \right)x - 2m = \left( {m + 3} \right)x - m - 2\\ \Leftrightarrow x\left( {{m^2} + 1 - m - 3} \right) = - m - 2 + 2m\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right)x = m - 2\end{array}\)

Để \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \({x_M} = \frac{1}{{m + 1}}\,\, \Rightarrow {y_M} = \left( {m + 3} \right).\frac{1}{{m + 1}} - m - 2\)

\( \Rightarrow {y_M} = = \frac{{m + 3 - \left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right)}}{{m + 1}} = \frac{{ - {m^2} - 2m + 1}}{{m + 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2020{x_M}\left( {{y_M} + 2} \right) = 2020.\frac{1}{{m + 1}}.\left( {\frac{{ - {m^2} - 2m + 1}}{{m + 1}} + 2} \right)\\\,\,\,\,\, = 2020.\frac{1}{{m + 1}}.\frac{{ - {m^2} - 2m + 1 + 2\left( {m + 1} \right)}}{{m + 1}}\\\,\,\,\,\, = 2020.\frac{1}{{m + 1}}.\frac{{ - {m^2} + 3}}{{m + 1}} = 2020.\frac{{3 - {m^3}}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = 1010.\frac{{ - 2{m^2} + 6}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = 1010.\frac{{ - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 4m + 4 + 4}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = 1010.\frac{{ - 2{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 4\left( {m + 1} \right) + 4}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = 1010.\left[ { - 2 + \frac{4}{{m + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right]\\\,\,\,\,\, = 1010.\left[ {{{\left( {\frac{2}{{m + 1}}} \right)}^2} + \frac{4}{{m + 1}} + 1 - 3} \right] = 1010.\left[ {{{\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)}^2} - 3} \right]\end{array}\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\) thì \({\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)^2} \ge 0\,\, \Rightarrow A = 1010.\left[ {{{\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)}^2} - 3} \right] \ge - 3030\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 1}} + 1 = 0 \Leftrightarrow m + 1 = - 2 \Leftrightarrow m = - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 3030\) khi \(m = - 3.\)

Chọn D.