Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 16(x^3 - y^3) = 15xy + 371.
Câu hỏi
Nhận biếtTìm \(x,y \) nguyên dương thỏa mãn: \(16({x^3} - {y^3}) = 15xy + 371. \)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \(x,\,\,y\) nguyên dương nên \(VP > 0\) do đó \(VT > 0\) nên \(x > y.\)
Ta có: \(15xy = 16({x^3} - {y^3}) - 371\) là số lẻ nên \(x,\,\,y\) đều lẻ, do vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\y \ge 1\end{array} \right..\)
Xét \(x = 3\) thì \(y = 1\) thay vào phương trình thỏa mãn.
Xét \(x \ge 5\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}x - 2 \ge y \Rightarrow 16\left( {{x^3} - {y^3}} \right) \ge 16\left[ {{x^3} - {{(x - 2)}^3}} \right] = 16\left( {6{x^2} - 12x + 8} \right)\\15xy + 371 \le 15x\left( {x - 2} \right) + 371 = 15{x^2} - 30x + 371\\16\left( {6{x^2} - 12x + 8} \right) - \left( {15{x^2} - 30x + 371} \right) = 81{x^2} - 162x - 243 = 81\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\end{array}\)
Ta có : \({x^2} - 2x - 3 > 0,\,\,\forall x \ge 5 \Rightarrow 16\left( {{x^3} - {y^3}} \right) > 15xy + 371\)
Vậy trường hợp này vô nghiệm.
Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên dương duy nhất : \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {3;\,1} \right).\)
Chọn D.
