Tìm tất cả các cặp ( x;y ) nguyên thỏa mãn ( x^2 - x + 1 )( y^2 + xy ) = 3x - 1.
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tất cả các cặp \(\left( {x;y} \right)\) nguyên thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} + xy} \right) = 3x - 1\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} + xy} \right) = 3x - 1\,\,\,\,\left( * \right) \Rightarrow {x^2} - x + 1|3x - 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 \le \left| {3x - 1} \right|\)
TH1: \(x \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \le 3x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt 2 \le x \le 2 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\) .
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
TH2: \(x < \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \le - 3x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 0\,\,\left( {tm} \right)\).
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\).
\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
+) Với \(x = - 2 \Rightarrow 7\left( {{y^2} - 2y} \right) = - 7 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} - 2y = - 1 \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = 1\,\,\left( {tm} \right)\) .
+) Với \(x = - 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3\left( {{y^2} - y} \right) = - 4 \Leftrightarrow {y^2} - y = - \frac{4}{3}\) (vô nghiệm y nguyên).
+) Với \(x = 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} = - 1\) (vô nghiệm).
+) Với \(x = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} + y = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(x = 2 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3\left( {{y^2} + 2y} \right) = 5 \Leftrightarrow {y^2} + 2y = \frac{5}{3}\) (vô nghiệm y nguyên).
+) Với \(x = 3 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 7\left( {{y^2} + 3y} \right) = 8 \Leftrightarrow {y^2} + 3y = \frac{8}{7}\) (vô nghiệm y nguyên).
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2;1} \right);\,\,\left( {1;1} \right);\,\,\left( {1; - 2} \right)} \right\}.\)
Chọn C.
