Tìm tâm sai của (H) biết góc giữa hai đường tiệm cận của (H) bằng 60^0
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tâm sai của (H) biết góc giữa hai đường tiệm cận của (H) bằng \({60^0} \).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)\).
Vì góc giữa hai đường tiệm cận của (H) bằng \({60^0} \Rightarrow {{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|} \over {{a^2} + {b^2}}} = \cos {60^0} \Leftrightarrow {{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|} \over {{a^2} + {b^2}}} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {{{b^2} - {a^2}} \over {{a^2} + {b^2}}} = {1 \over 2} \hfill \cr {{{a^2} - {b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {b^2} = 3{a^2} \hfill \cr {a^2} = 3{b^2} \hfill \cr} \right.\)
Ta có: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
TH1: \({b^2} = 3{a^2} \Rightarrow {a^2} + 3{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {{{c^2}} \over {{a^2}}} = 4 \Leftrightarrow {c \over a} = 2 \Leftrightarrow e = 2\)
TH2: \({a^2} = 3{b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {1 \over 3}{a^2}\,\,\,\, \Rightarrow {a^2} + {1 \over 3}{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {4 \over 3}{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {{{c^2}} \over {{a^2}}} = {4 \over 3} \Leftrightarrow {c \over a} = {2 \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow e = {2 \over {\sqrt 3 }}\)
Vậy, \(e = 2\) hoặc \(e = {2 \over {\sqrt 3 }}\).
Chọn: A.