Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f( x ) = x + 5x - 2 với x > 2 là:
Câu hỏi
Nhận biếtTìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f \left( x \right) = x + \frac{5}{{x - 2}} \) với x > 2 là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(x + \frac{5}{{x - 2}} = x - 2 + \frac{5}{{x - 2}} + 2\)
Vì x > 2 nên x – 2 > 0 và \(\frac{5}{{x - 2}} > 0\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số x – 2 và \(\frac{5}{{x - 2}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}x - 2 + \frac{5}{{x - 2}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\frac{5}{{x - 2}}} = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow x + \frac{5}{{x - 2}} = x - 2 + \frac{5}{{x - 2}} + 2 \ge 2\sqrt 5 + 2\end{array}\)
Vậy \(\min f\left( x \right) = 2\sqrt 5 + 2\). Dấu “=” xảy ra khi
\(x - 2 = \frac{5}{{x - 2}} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 5 \\x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.\)
Chọn C.