Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4x^2 + căn 2x^2 + 3x + 2 + 6x + 2018 trên
Câu hỏi
Nhận biếtTìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4{x^2} + \sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 6x + 2018\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right].\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 4{x^2} + \sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 6x + 2018\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\)
Ta có hàm số:
\(y = 4{x^2} + \sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 6x + 2018 = 2\left( {2{x^2} + 3x + 2} \right) + \sqrt {2{x^2} + 3x + 2} + 2014.\)
Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} + 3x + 2} \;\;\;\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = 2{x^2} + 3x + 2.\)
Khi đó ta có hàm số: \(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + t + 2014.\)
Xét \(g\left( x \right) = 2{x^2} + 3x + 2\) với \(x \in \left[ {0;2} \right]\)
Ta có bảng:
\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(g\left( x \right) \in \left[ {2;16} \right]\)
\( \Rightarrow t = \sqrt {2{x^2} + 3x + 2} = \sqrt {g\left( x \right)} \in \left[ {\sqrt 2 ;4} \right]\)
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^2} + t + 2014\) trên đoạn \(\left[ {\sqrt 2 ;4} \right].\)
Ta có bảng:
Vậy GTNN của hàm số bằng \(2018 + \sqrt 2 \) đạt được khi \(t = \sqrt 2 \) hay \(x = 0.\)
Vậy GTLN của hàm số bằng \(2050\) đạt được khi \(t = 4\) hay \(x = 2.\)
Chọn A.