Tìm các số tự nhiên n để A = n^2018 + n^2008 + 1 là số nguyên tố.
Câu hỏi
Nhận biếtTìm các số tự nhiên \(n\) để \(A = {n^{2018}} + {n^{2008}} + 1\) là số nguyên tố.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét \(n = 0\) thì A = 1 không là số nguyên tố;
Xét \(n = 1\) thì A = 3 là số nguyên tố.
Xét n > 1, ta thấy A > n2 + n + 1;
A = n2018 – n2 + n2008 – n + n2 + n + 1 = n2((n3)672 – 1) + n.((n3)669 – 1) + (n2 + n + 1)
Mà (n3)672 – 1 chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)672 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
(Vì \({n^3} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \Rightarrow \left( {{n^3} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {{n^2} + n + 1} \right)\))
Tương tự: (n3)669 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Khi đó A chia hết cho n2 + n + 1 > 1 và A > n2 + n + 1
Vậy A là hợp số với mọi n > 1.
Tóm lại số tự nhiên cần tìm là n = 1.
