Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: y^3 - 2x + 2 = x(x + 1)^2.
Câu hỏi
Nhận biếtTìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: \({y^3} - 2x + 2 = x{(x + 1)^2}. \)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có phương trình : \({y^3} - 2x + 2 = x{\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {y^3} = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 2.\)
Ta có : \(2{x^2} + 3x + 2 = 2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} \ge \frac{7}{8} > 0 \Rightarrow {y^3} > {x^3}.\)
Xét : \(\left| x \right| > 1\). Khi đó : \({y^3} = {(x + 1)^3} + 1 - {x^2} \le {(x + 1)^3}\).
\( \Rightarrow {x^3} < {y^3} < {(x + 1)^3}\) (vô lý).
\( \Rightarrow \left| x \right| \le 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 0\end{array} \right..\)
Với \(x = 1\) ta có : \({y^3} = 1 + 2 + 3 + 2 = 8 \Rightarrow y = 2\;\;\left( {tm} \right).\)
Với \(x = - 1\) ta có : \({y^3} = - 1 + 2 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow y = 0\;\;\left( {tm} \right).\)
Với \(x = 0\) ta có : \({y^3} = 2 \Rightarrow y = \sqrt[3]{2}\;\;\left( {ktm} \right).\)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là : \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\;0} \right);\;\left( {1;\;2} \right)} \right\}.\)
Chọn B.
