Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình x^2 - 4x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
Câu hỏi
Nhận biếtTìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 + x_2^3 < 100.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\({x^2} - 4x + m + 1 = 0\)
Ta có: \(a = 1;b = - 4;c = m + 1\)
\( \Rightarrow \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - m - 1 = 3 - m\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x_1^3 + x_2^3 < 100\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) < 100\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] < 100\\ \Leftrightarrow 4.\left[ {16 - 3\left( {m + 1} \right)} \right] < 100\\ \Leftrightarrow 16 - 3m - 3 < 25\\ \Leftrightarrow - 3m < 12 \Leftrightarrow m > - 4\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện \(m < 3\) và \(m\) nguyên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4 < m < 3\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}\)
Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
