Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x^2 - 2( m - 1 )x + m^2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1
Câu hỏi
Nhận biếtTìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) thỏa mãn: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 6m = {x_1} - 2{x_2}.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} = 0\) (1) có các hệ số: \(a = 1;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = {m^2}\)
\(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - {m^2} = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} = 1 - 2m\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = {m^2}\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 6m = {x_1} - 2{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} + 6m = {x_1} - 2{x_2}\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4{m^2} + 6m = {x_1} - 2{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 4{m^2} + 6m = {x_1} - 2{x_2}\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 4{m^2} + 6m = {x_1} - 2{x_2}\\ \Leftrightarrow - 2m + 4 = {x_1} - 2{x_2}\end{array}\)
Khi đó kết hợp với \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1} - 2{x_2} = - 2m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\{x_1} - 2{x_2} = - 2m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_2} = 4m - 6\\{x_1} + {x_2} = 2m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{4}{3}m - 2\\{x_1} = 2m - 2 - \frac{4}{3}m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \frac{4}{3}m - 2\\{x_1} = \frac{2}{3}m\end{array} \right.\)
Thay \({x_1} = \frac{2}{3}m;{x_2} = \frac{4}{3}m - 2\) vào \({x_1}.{x_2} = {m^2}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{4}{3}m - 2} \right).\frac{2}{3}m = {m^2} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{9}{m^2} - \frac{4}{3}m = 0\\ \Leftrightarrow - m\left( {\frac{1}{9}m + \frac{4}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 0;m = - 12\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
