. Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác
Câu hỏi
Nhận biếtCho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.
1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh \(M{{N}^{2}}=NF.NA\) và \(MN=NH\)
3) Chứng minh \(\frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=1\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có: \(\widehat{MAO}=\widehat{MBO}={{90}^{0}}\) (vì MA và MB là các tiếp tuyến)
\(\Rightarrow \widehat{MAO}+\widehat{MBO}={{180}^{0}}\)
Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o)
b) Vì AE // MO nên AE ⊥ AB nên góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn. Suy ra B, O, E thẳng hàng.
Xét tam giác MFN và AMN có \(\widehat{MFN}=\widehat{AFE}=\widehat{ABE}=\widehat{AMN}\) , \(\widehat{ANM}\) chung
\(\Rightarrow \Delta MFN\sim \Delta AMN\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MN}{AN}=\frac{NF}{MN}\Rightarrow M{{N}^{2}}=NF.NA\) (1)
Ta có: \(\widehat{MFB}=\widehat{MHB}={{90}^{0}}\) ⇒ MFHB nội tiếp đường tròn đường kính MB
\(\Rightarrow \widehat{BFH}=\widehat{BMH}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HB)
Mà \(\widehat{BMH}=\widehat{HBO}=\widehat{AFE}\)⇒ \(\widehat{BFH}=\widehat{AFE}\)
Ta có \(\widehat{BFH}+\widehat{HFE}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AFE}+\widehat{HFE}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AFH}={{90}^{o}}\)
Xét tam giác NFH và NHA có:
\(\widehat{NFH}=\widehat{AHN}={{90}^{o}}\)
\(\widehat{ANH}\) chung
\(\Rightarrow \Delta NFH\sim \Delta NHA\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{NH}{NA}=\frac{NF}{NH}\Rightarrow N{{H}^{2}}=NA.NF\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra\(N{{M}^{2}}=N{{H}^{2}}\Rightarrow NM=NH\)
c) Xét tam giác vuông NHA có \(H{{A}^{2}}=FA.NA\) và \(F{{H}^{2}}=FA.FN\)
Mà \(HA=HB\Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{H{{A}^{2}}}{H{{F}^{2}}}=\frac{FA.NA}{H{{F}^{2}}}=\frac{NA}{HF}\)
\(\Rightarrow H{{B}^{2}}=H{{A}^{2}}=HF.NA\)
Vì AE // MN nên theo Ta lét ta có:\(\frac{EF}{MF}=\frac{FA}{NF}\)
\(\Rightarrow \frac{H{{B}^{2}}}{H{{F}^{2}}}-\frac{EF}{MF}=\frac{NA}{NF}-\frac{FA}{NF}=\frac{NF}{NF}=1\)
