Cách giải nhanh bài tập này
Đặt t = sinx – cosx = \( - \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \Rightarrow 2\sin x\cos x = 1 - {t^2}\)
Khi đó (1) trở thành:
\(\begin{array}{l}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 1 - {t^2} = 1 + \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {t^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\\ - \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\\\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \pi + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.(k \in Z)\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm.