Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình lxy + x - 1 = 3y(1)x^2y - x = 2y
Câu hỏi
Nhận biếtKết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}xy + x - 1 = 3y(1)\\{x^2}y - x = 2{y^2}(2)\end{array} \right.\)(I)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với \(y = 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm)
Với \(y \ne 0\) chia cả 2 vế của hai phương trình cho \(y \ne 0\) ta được:
Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{x}{y} - \frac{1}{y} = 3\\\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{x}{{{y^2}}} = 2\end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - \frac{1}{y}} \right) + \frac{x}{y} = 3\\\frac{x}{y}\left( {x - \frac{1}{y}} \right) = 2\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - \frac{1}{y}\\v = \frac{x}{y}\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\uv = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{y} = 2\\\frac{x}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 1 = 2y\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 1 = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1 - \sqrt 2 \\x = y = 1 + \sqrt 2\end{array} \right.\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{y} = 1\\\frac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 1 = y\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - y - 1 = 0\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - \frac{1}{2}\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có 4 nghiệm\((x;y)\) là \((2;1),\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right),\left( {1 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right),\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)
Chọn D