Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình lx^2 + y^2 = 2x( x - 1 )^3 + y^3
Câu hỏi
Nhận biếtKết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2x\,\\{\left( {x - 1} \right)^3} + {y^3} = 1\,\end{array} \right.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2x\,\\{\left( {x - 1} \right)^3} + {y^3} = 1\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1\,\\{\left( {x - 1} \right)^3} + {y^3} = 1\,\end{array} \right.\)
Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\v = y\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u^2} + {v^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{u^3} + {v^3} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Nếu \(u < 0\) thì ta có \({v^3} > {u^3} + {v^3} = 1 \Rightarrow v > 1 \Rightarrow {v^2} > 1\). Suy ra (1) vô nghiệm hay hệ vô nghiệm. Suy ra \(u \ge 0\)
Tương tự nếu \(v < 0\) thì hệ vô nghiệm. Suy ra \(v \ge 0\)
Từ (1) có \(\left\{ \begin{array}{l}{u^2} \le 1\\{v^2} \le 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le u \le 1\\ - 1 \le v \le 1\end{array} \right.\)
Kết hợp các điều kiện ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le u \le 1\\0 \le v \le 1\end{array} \right.\)
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có:
\({u^3} - {u^2} + {v^3} - {v^2} = 0 \Leftrightarrow {u^2}\left( {u - 1} \right) + {v^2}\left( {v - 1} \right) = 0\)
Ta có: \(u - 1 \le 0;v - 1 \le 0 \Leftrightarrow {u^2}\left( {u - 1} \right) + {v^2}\left( {v - 1} \right) \le 0\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2}\left( {u - 1} \right) = 0\\{v^2}\left( {v - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}v = 0\\v = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Thử nghiệm ta có \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\) là nghiệm của hệ.
Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 0\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: \(\left( {1;1} \right),\left( {2;0} \right)\)
Chọn B.