Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình l4xy + 4(x^2 + y^2) + 3(x + y)^
Câu hỏi
Nhận biếtKết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}4xy + 4({x^2} + {y^2}) + \frac{3}{{{{(x + y)}^2}}} = 7\\2x + \frac{1}{{x + y}} = 3\end{array} \right.\) (I)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện \(x + y \ne 0\). Khi đó ta có:
Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{(x + y)^2} + \frac{3}{{{{(x + y)}^2}}} + {(x - y)^2} = 7\\x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\left[ {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right]^2} + {(x - y)^2} = 13\\x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3\end{array} \right.\)
Đặt \(u = x + y + \frac{1}{{x + y}},\;(\left| u \right| \ge 2)\), \(v = x - y\)
Hệ phương trình trở thành
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {v^2} = 13\\u + v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {v^2} = 13\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {\left( {3 - u} \right)^2} = 13\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u^2} - 6u - 4 = 0\\v = 3 - u\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}u = 2\\u = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\end{array}\)
(Vì \(\left| u \right| \ge 2\))
Từ đó, có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (1;0)\).
Chọn A