Kết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình l căn 2x + y + 1 - căn x + y
Câu hỏi
Nhận biếtKết luận nào sau đây đúng khi nói về số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1} - \sqrt {x + y} = 1\,(1)\\3x + 2y - 4 = 0\,(2)\end{array} \right.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1} - \sqrt {x + y} = 1\,\\3x + 2y - 4 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1} - \sqrt {x + y} = 1\,\\\left( {2x + y + 1} \right) + \left( {x + y} \right) = 5\,\end{array} \right.\)
Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {2x + y + 1} \ge 0\\v = \sqrt {x + y} \,\, \ge 0\end{array} \right.\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u - v = 1\\{u^2} + \,{v^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\{u^2} + \,{v^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\{\left( {1 + v} \right)^2} + \,{v^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\2{v^2} + 2v - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\end{array}\)
(vì \(v \ge 0\))
Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1} = 2\\\sqrt {x + y} \, = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 4\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x\, + y = 3\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: \(\left( {2; - 1} \right)\)
Chọn A.