Gọi x1,,,x2 là hai nghiệm của phương trình x^2 - mx + m - 1 = 0 (m là
Câu hỏi
Nhận biếtGọi \({x_1}, \, \,{x_2} \) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0 \) (m là tham số). Tìm m để biểu thức \(P = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2 \left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} \) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\) do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giả sử phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2\)
Khi đó \(P = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \frac{{2m - 2 + 3}}{{{m^2} - 2m + 2 + 2\left( {m - 1 + 1} \right)}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\)
Xét \(P - 1 = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} - 1 = \frac{{2m + 1 - {m^2} - 2}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{ - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 2}} = - \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow P \le 1\,\,\forall m \in \mathbb{R}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Chọn B.
