Giải phương trình nghiệm nguyên 1x + 1y + 1z = 1
Câu hỏi
Nhận biếtGiải phương trình nghiệm nguyên \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Nhận thấy \(x,y,z\) có vai trò như nhau nên ta giả sử \(x \le y \le z \Leftrightarrow \frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}\)
Ta có: \(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{1}{z} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z} = \frac{3}{z} \Leftrightarrow z \ge 3\)
\(1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)
TH1: Rõ ràng \(x = 1\)không là nghiệm
TH2: Nếu \(x = 2 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\)
Ta có \(\frac{1}{2} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y} \Rightarrow y \le 4 \Leftrightarrow y \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) mà \(y \ge x \Rightarrow y \in \left\{ {2;3;4} \right\}\)
Nếu \(y = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 0(ktm)\)
Nếu \(y = 3 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 6\)
Nếu \(y = 4 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2} \Rightarrow z = 4\)
TH3: Nếu \(x = 3 \Rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}\)
Ta có : \(\frac{2}{3} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y} \Rightarrow y \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)mà \(y \ge x\) Vậy không có giá trị nào của \(y\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2;3;6} \right),\left( {2;4;4} \right)\) và các hoán vị của nó.
Chọn A.
