Giải phương trình: căn x + 2 - 2 căn x - 1 = 3x - 3 căn ( x + 2 )( x - 1 ) .
Câu hỏi
Nhận biếtGiải phương trình: \(\sqrt {x + 2} - 2\sqrt {x - 1} = 3x - 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} .\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x \ge 1.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {x + 2} - 2\sqrt {x - 1} = 3x - 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} - 2\sqrt {x - 1} = x + 2 + 2x - 2 - 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} - 2\sqrt {x - 1} = \left( {x + 2} \right) + 2\left( {x - 1} \right) - 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {x + 2} \,\,\,\left( {a \ge 0} \right)\\b = \sqrt {x - 1} \,\,\,\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right..\) Khi đó ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow a - 2b = {a^2} + 2{b^2} - 3ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2{b^2} - 2ab - ab - a + 2b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab} \right) + \left( {2{b^2} - ab} \right) - \left( {a - 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {a - 2b} \right) - b\left( {b - 2b} \right) - \left( {a - 2b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right)\left( {a - b - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2b = 0\\a - b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b\\a = b + 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(a = 2b \Rightarrow \sqrt {x + 2} = 2\sqrt {x - 1} \Leftrightarrow x + 2 = 4x - 4 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(a = b + 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = \sqrt {x - 1} + 1 \Leftrightarrow x + 2 = x - 1 + 1 + 2\sqrt {x - 1} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)
Chọn A.
