Giải phương trình : căn 2( x^4 + 4 ) = 3x^2 - 10x + 6
Câu hỏi
Nhận biếtGiải phương trình : \( \sqrt {2 \left( {{x^4} + 4} \right)} = 3{x^2} - 10x + 6 \)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(3{x^2} - 10x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{5 + \sqrt 7 }}{3}\\x \le \frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\)
Hai vế không âm, ta bình phương hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {2\left( {{x^4} + 4} \right)} } \right)^2} = {\left( {3{x^2} - 10x + 6} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^4} + 8 = 9{x^4} + 100{x^2} + 36 - 6{x^3} + 36{x^2} - 120x\\ \Leftrightarrow 7{x^4} - 6{x^3} + 136{x^2} - 120x + 28 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
+) TH1: Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được: 28 = 0 (vô lý).
Vậy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
+) TH2: Với \(x \ne 0\) , chia cả hai vế cho \({x^2}\) ta được:
\(\begin{array}{l}7{x^2} - 6x + 136 - \frac{{120}}{x} + \frac{{28}}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {7{x^2} + \frac{{28}}{{{x^2}}}} \right) - \left( {6x + \frac{{120}}{x}} \right) + 136 = 0\\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right) - 60\left( {x + \frac{2}{x}} \right) + 136 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Đặt: \(t = x + \frac{2}{x}\left( {t \ge 2\sqrt 2 } \right)\)
Ta có: \({t^2} = {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^2} = {x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + 4 \Rightarrow {x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = {t^2} - 4\)
Khi đó (3) trở thành:
\(\begin{array}{l}7\left( {{t^2} - 4} \right) - 60t + 136 = 0\\ \Leftrightarrow 7{t^2} - 60t + 108 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 6} \right)\left( {7t - 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 6 = 0\\7t - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\left( {tm} \right)\\t = \frac{{18}}{7}\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Với t = 6 ta có:
\(x + \frac{2}{x} = 6 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 2 = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta = 9 - 2 = 7 > 0\\ \Rightarrow {x_1} = 3 - \sqrt 7 ;{x_2} = 3 + \sqrt 7 \left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {3 - \sqrt 7 ;3 + \sqrt 7 } \right\}\)
Chọn B.
