Giải hệ phương trình: l1x^2 + 1y^2 = 1 căn x^2 - 1 + căn y^2 - 1 = căn xy + 2 .
Câu hỏi
Nhận biếtGiải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 1\\\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt {{y^2} - 1} = \sqrt {xy + 2} \end{array} \right.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 1\\\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt {{y^2} - 1} = \sqrt {xy + 2} \end{array} \right.\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ge 0\\{y^2} - 1 \ge 0\\xy + 2 \ge 0\\x,y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 1\\{y^2} \ge 1\\xy \ge - 2\end{array} \right..\)
Hệ đã cho tương đương với:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 1\\\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt {{y^2} - 1} = \sqrt {xy + 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {x^2}{y^2}\;\;\;\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} - 2 + 2\sqrt {({x^2} - 1)({y^2} - 1)} = xy + 2\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2}{y^2} - 2 + 2\sqrt {{x^2}{y^2} - {x^2} - {y^2} + 1} = xy + 2\\ \Leftrightarrow {x^2}{y^2} - 2 + 2\sqrt {{x^2} + {y^2} - {x^2} - {y^2} + 1} = xy + 2\\ \Leftrightarrow {x^2}{y^2} = xy + 2 \Leftrightarrow {\left( {xy} \right)^2} - xy - 2 = 0\\ \Leftrightarrow (xy - 2)(xy + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 2\;\;\left( {tm} \right)\\xy = - 1\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = - 1\\{x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow {(x + y)^2} = - 1\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\{x^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow {(x + y)^2} = 8\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = - \sqrt 2 \;\;\left( {tm} \right)\\x = y = \sqrt 2 \;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn là: \((\sqrt 2 ;\sqrt 2 );( - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 ).\)
Chọn D.
