Chứng minh ( x + y + z )^3 + 9xyz ge 4( x + y + z )( xy + yz + xz ) vớ
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh \({\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\) với \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực không âm. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Không mất tính tổng quát giả sử \(x \ge y \ge z \ge 0.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + y + z} \right)^3} + 9xyz \ge 4\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {{x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}} \right) + 15xyz\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge 4\left( {{x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}} \right) + 12xyz\\ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz \ge {x^2}y + x{y^2} + {x^2}z + x{z^2} + {y^2}z + y{z^2}\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{x^3} + xyz - {x^2}y - {x^2}z = x\left( {x - z} \right)\left( {x - y} \right) \ge 0\\ \Rightarrow {x^3} + xyz \ge {x^2}y + {x^2}z\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có : \({y^3} + xyz \ge {y^2}x + {y^2}z\)
\({z^3} + xyz \ge {z^2}y + {z^2}x\)
Suy ra bất đẳng thức (*) luôn đúng
Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = 0\).
