Chứng minh đường thẳng ( d ) luôn cắt parabol ( P ) tại hai điểm phân
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh đường thẳng \( \left( d \right) \) luôn cắt parabol \( \left( P \right) \) tại hai điểm phân biệt \(A, \, \,B. \) Gọi \({x_1}, \, \,{x_2} \) lần lượt là hoành hoành độ của hai điểm \(A, \, \,B. \) Tìm \(m \) để \(x_1^2 + x_2^2 = 2{x_1}{x_2} + 20. \)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
\(\frac{{{x^2}}}{2} = - mx + 3 - m \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m - 6 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 6 > 0\, \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 5 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 5 > 0\,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right).\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 2{x_1}{x_2} + 20\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 4{x_1}{x_2} - 20 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 20 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^2} - 4\left( {2m - 6} \right) - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 24 - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
