Cho x;y;z là ba số dương thỏa mãn: căn x^2 + y^2 + căn y^2 + z^2 + căn z^2 + x^2 = 6. Tìm g
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(x,\;y,\;z\) là ba số dương thỏa mãn: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2}} = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Trước hết ta có BĐT quen thuộc sau với \(a,\;b,\;c > 0\) thì : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}.\)
Thật vậy : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} \Leftrightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9.\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}}\end{array} \right. \Rightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}} = 9.\)
Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)
Áp dụng BĐT Cô-si quen thuộc : \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6 = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} \\ \le \sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {x^2} + {x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {6{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 6.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} }}\\ \ge \frac{{6 - \left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{y^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\\ = \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ \ge \frac{{6.9}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} } \right)}} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ = \frac{{6.9}}{{6\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.6 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + {z^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 4\\{x^2} + {y^2} = 4\\{z^2} + {x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} = {z^2} = 2 \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 2 .\)
Vậy \(Min\;M = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) khi \(x = y = z = \sqrt 2 .\)
Chọn C
