Cho xy>0 và x+yle 1Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=xy+1xy là:
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(x,y>0\) và \(x+y\le 1\)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=xy+\frac{1}{xy}\) là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x,y\) ta có: \(xy\le {{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}\le \frac{1}{4}\)
Ta có: \(A=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có \(xy+\frac{1}{16xy}\ge 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}=\frac{1}{2}\) (1)
Mặt khác, do\(xy\le \frac{1}{4}\) , suy ra \(\frac{1}{xy}\ge 4\) nên ta có \(\frac{15}{16xy}\ge \frac{15}{4}\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) có \(A\ge \frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(16{{\left( xy \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow xy=\frac{1}{4}\) và x + y = 1, khi đó \(x=y=\frac{1}{2}\).
Chọn D.