Cho xy>0 thỏa mãn x^2+y^2=1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=-2xy1+xy là:
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(x,y>0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\frac{-2xy}{1+xy}\) là:
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Lời giải chi tiết.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( {{x}^{2}},{{y}^{2}} \right)\) ta nhận được
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\Rightarrow xy\le \frac{1}{2}\Rightarrow 1+xy\le \frac{3}{2}\Rightarrow \frac{1}{1+xy}\ge \frac{2}{3}\Rightarrow \frac{2}{1+xy}\ge \frac{4}{3}.\)
Từ đó \(A=\frac{-2xy}{1+xy}=-2+\frac{2}{1+xy}\ge -2+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}={{y}^{2}} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ & x,y>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(-\frac{2}{3}.\)
Chọn đáp án A.
