Cho x y là các số dương và 1x + 4y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y
Câu hỏi
Nhận biếtCho x, y là các số dương và \(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho x, y là các số dương và \(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\)
Ta có x, y là các số dương nên \(\frac{9}{x}\) và \(\frac{{36}}{y}\) cũng là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(x\) và \(\frac{9}{x}\) ta được:
\(x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{9}{x}} = 6\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(y\) và \(\frac{{36}}{y}\) ta được:
\(y + \frac{{36}}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{{36}}{y}} = 12\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow x + \frac{9}{x} + y + \frac{{36}}{y} \ge 18 \Leftrightarrow P + 9\left( {\frac{1}{x} + \frac{4}{y}} \right) \ge 18 \Leftrightarrow P \ge 9\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\\x = \frac{9}{x}\\y = \frac{{36}}{y}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\\{x^2} = 9\\{y^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 6\end{array} \right.\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0} \right)\)
Vậy \({P_{\min }} = 9\) đạt được khi \(x = 3;y = 6.\)
Chọn C.
