Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( O ). Gọi M là một điểm di
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M\) là một điểm di động trên cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) không trình với \(B,C\)). Gọi \(H,K,D\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến các đường thẳng \(AB,AC,BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(AHMK\) nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh \(MH.MC = MK.MB\).
c) Tìm vị trí của điểm \(M\) để \(DH + DK\) lớn nhất.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}MH \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MHA = {90^0}\\MK \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MKA = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \angle MHA + \angle MKA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \(AHMK\) nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) Dễ thấy tứ giác \(ABMC\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle HBM = \angle MCA\) (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong đỉnh đối diện)
Xét \(\Delta HBM\) và \(\Delta KCM\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle MHB = \angle MKC\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle HBM = \angle MCA\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta HBM \sim \Delta KCM\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{HM}}{{KM}} = \frac{{BM}}{{CM}}\) (cạnh tưng ứng) \( \Rightarrow MH.MC = MB.MK\) (đpcm).
c) Nối \(D\) với \(H\), \(D\) với \(K\).
Xét tứ giác \(BHMD\) có \(\angle BHM + \angle BDM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên \(BHDM\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \angle BDH = \angle BMH\) (cùng chắn cung \(BH\)) (1)
Xét tứ giác \(CKDM\) có \(\angle MDC = \angle MKC = {90^0}\) nên tứ giác \(CKDM\) nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau)
\( \Rightarrow \angle KDC = \angle KMC\) (cùng chắn cung \(KC\)) (2)
Mà \(\Delta HBM \sim \Delta KCM\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle BMH = \angle KMC\) (góc tương ứng) (3)
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\angle BDH = \angle KDC\) suy ra \(H,D,K\) thẳng hàng hay \(DH + DK = HK\).
Ta có: \(\angle MHD = \angle MBD\) (cùng chắn cung \(MD\)) \( \Rightarrow \angle MHK = \angle MBC\)
\(\angle MKD = \angle MCD\) (cùng chắn cung \(MD\)) \( \Rightarrow \angle MKH = \angle MCB\)
Xét \(\Delta MHK\) và \(\Delta MBC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle MHK = \angle MBC\left( {cmt} \right)\\\angle MKH = \angle MCB\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MHK \sim \Delta MBC\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MB}} = \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{{HK}}{{BC}}\) (cạnh tương tứng)
Mà \(MH \le MB,MK \le MC \Rightarrow \frac{{MH}}{{MB}} = \frac{{MK}}{{MC}} \le 1\) \( \Rightarrow \frac{{HK}}{{BC}} \le 1 \Rightarrow HK \le BC\) cố định.
Dấu “=” xảy ra khi \(MH = MB,MK = MC\) hay \(H \equiv B,K \equiv C\) hay \(AB \bot BM,AC \bot CM\)
\( \Rightarrow \angle ABM = \angle ACM = {90^0}\) hay \(A,B,C,M\) nằm trên đường tròn đường kính \(AM\).
Kẻ đường kính \(AE\) của đường tròn tâm \(\left( O \right)\) thì \(M \equiv E\).
Vậy \(\max \left( {DH + DK} \right) = BC\) khi \(M \equiv E\).
