Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AH vuông góc với BC.
b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp.
c) Cho \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích của hai tam giác AED và ABC.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh AH vuông góc với BC
Ta có các góc \(BDC = {90^0};\,BEC\, = {90^0}\)
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BD \bot DC \Rightarrow BD \bot AC\\\,\,\,\,\,\,\,CE \bot BE \Rightarrow CE \bot AB\end{array}\)
Xét tam giác ABC có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\CE \bot AC\\BD \cap CE = H\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) H là trực tâm tam giác ABC
\( \Rightarrow AH \bot BC\).
b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp
Kéo dài AH cắt BC tại F.
Xét tứ giác AEHD có \(\angle AEH + \angle ADH = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác AEDH nội tiếp đường tròn đường kính AH.
Lại có K là trung điểm của AH \( \Rightarrow K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.
\( \Rightarrow KA = KE = KH = KD\)
\( \Rightarrow \Delta KDH\) cân tại K \( \Rightarrow \angle KDH = \angle KHD = \angle BHF\) (1)
Xét tam giác OBD có \(OB = OD\,\left( { = R} \right) \Rightarrow \Delta OBD\) cân tại O \( \Rightarrow \angle ODB = \angle OBD\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle KDH + \angle ODB = \angle BHF + \angle OBD = {90^0} \Rightarrow \angle KDO = {90^0}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\Delta KEH\) cân tại K \( \Rightarrow \angle KEH = \angle KHE = \angle CHF\)
Tam giác OCE có OC = OE \( \Rightarrow \Delta OCE\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OEC = \angle OCE\)
\( \Rightarrow \angle KEH + \angle OEC = \angle CHF + \angle OCE = {90^0} \Rightarrow \angle KEO = {90^0}\)
Xét tứ giác OEKD có \(\angle KDO + \angle KEO = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OEKD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
c) Cho \(\angle BAC = {60^0}\). Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích hai tam giác AED và ABC.
Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn (O)
\( \Rightarrow \angle ABC + \angle EDC = {180^0}\)
Mà \(\angle EDC + \angle ADE = {180^0}\) (kề bù)
\( \Rightarrow \angle ABC = \angle ADE\)
+) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\)có:
\(\angle A\) : chung
\(\angle ABC = \angle ADE\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta ADE\) đồng dạng \(\Delta ABC\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (1)
+) \(\Delta ADB\)vuông tại D
\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = {\mathop{\rm cosBAD}\nolimits} = \cos {60^0} = \frac{1}{2}\) (2)
Từ (1), (2) suy ra : \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.8 = 4\,\,(cm)\)
Vậy \(DE = 4\,\,cm\).
+) \(\Delta ADE\) đồng dạng \(\Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)
Khi đó: \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\).
