Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC BA lấy các điểm MN sao cho 3 BM = BC 3 AN = AB . Gọi I là
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, BA lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(3\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} ,\,\,3\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} \). Gọi I là giao điểm của \(AM,\,\,CN\). Tính góc \(\widehat {BIC}\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì \(I \in CN\) nên ta có thể giả sư tồn tại x > 0 sao cho
\(\eqalign{ & \overrightarrow {CI} = x\overrightarrow {CN} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {BC} + x\overrightarrow {CN} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BC} + x\left( {\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BC} } \right) \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC} + x\overrightarrow {BN} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = {{2x} \over 3}\overrightarrow {BA} + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC} \cr} \)
Tương tự như trên ta có vì \(I \in AM\) tồn tại số \(a \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {BI} = a\overrightarrow {BA} + \left( {1 - a} \right)\overrightarrow {BM} = a\overrightarrow {BA} + {{1 - a} \over 3}\overrightarrow {BC} \)
Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ {2 \over 3}x = a \hfill \cr 1 - x = {{1 - a} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {2 \over 3}x = a \hfill \cr 1 - x = {1 \over 3} - {2 \over 9}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {6 \over 7} \hfill \cr a = {4 \over 7} \hfill \cr} \right.\)
Suy ra \(\overrightarrow {BI} = {4 \over 7}\overrightarrow {BA} + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} .\)
Ta có: \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CB} + {2 \over 3}\overrightarrow {BA} = {2 \over 3}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} .\) Suy ra
\(\eqalign{ & \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN} = \left( {{4 \over 7}\overrightarrow {BA} + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {{2 \over 3}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) \cr & = {8 \over {21}}{\overrightarrow {BA} ^2} - {4 \over 7}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + {2 \over {21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} - {1 \over 7}{\overrightarrow {BC} ^2} \cr & = {8 \over {21}}A{B^2} - {1 \over 7}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \cr & = {5 \over {21}}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \cr} \).
Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = BA.BC.\cos {60^0} = {1 \over 2}B{A^2} \Rightarrow \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN} = {5 \over {21}}A{B^2} - {5 \over {21}}A{B^2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {CN} \)
Vậy \(\widehat {BIC} = {90^0}\).
Chọn B.