Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và A
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và AC sao cho các nửa đường tròn này không có điểm nào nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng \(d\)đi qua A cắt các nửa dường tròn đường kính AB và AC theo thứ tự ở M và N (khác điểm A). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC.
1) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang vuông.
2) Chứng minh \(IM = IN\).
3) Giả sử đường thẳng \(d\)thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài. Hãy xác đinh vị trí của đường thẳng \(d\)để chu vi tứ giác BMNC lớn nhất.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1) Ta có các góc \(\angle AMB,\,\,\angle ANC\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle AMB = \angle ANC = {90^0}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot MB \Rightarrow MN \bot MB\\AN \bot NC \Rightarrow MN \bot NC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MB\parallel NC\) (từ vuông góc đến song song), do đó \(BMNC\) là hình thang. Lại có \(MN \bot MB \Rightarrow \angle BMN = {90^0}\). Vậy \(BMNC\) là hình thang vuông tại \(M,\,\,N\).
2) Từ \(I\)kẻ \(IH \bot MN\,\,\left( {H \in MN} \right)\), khi đó ta có \(IH\parallel BM\parallel CN\) (cùng vuông góc với \(MN\)).
Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MN\) (định lí đường trung bình của hình thang).
Xét \(\)có \(IH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow \)\(\Delta IMN\)cân tại \(I\).
Vậy \(IM = IN\) (đpcm).
3) Chu vi tứ giác \(BMNC\) là:
\({C_{BMNC}} = BC + BM + MN + NC\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = BC + MN + 2IH\) (do \(IH\) là đường trung bình của hình thang \(BMNC\))
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le BC + BC + 2IA = 2BC + BC = 3BC\) (do \(MN \le BC,\,IH \le IA\)).
Hay \({C_{BMNC}} \le 3BC\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow H \equiv A\) hay \(A\)chính là hình chiếu vuông góc của \(I\)trên \(d\).
Vậy chu vi tứ giác \(BMNC\)đạt GTLN khi \(d\)là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA.
