Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH( H thuộc BC ). Trên AC
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), đường cao \(AH\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Trên \(AC\) lấy điểm \(M\,\,\left( {M \ne A,\,\,M \ne C} \right)\) và vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt \(AH\) tại \(E\) và cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(AD\) cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác \(CDEH\) là tứ giác nội tiếp.
b) \(\angle BCA = \angle ACS\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Tứ giác \(CDEH\) là tứ giác nội tiếp.
Ta có : \(\angle EHC = {90^0}\) (\(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\))
Ta có \(\angle CDM = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(MC\)).
\( \Rightarrow \angle CDE = {90^0}\).
Xét tứ giác \(CDEH\) có : \(\angle CDE + \angle CHE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\), suy ra tứ giác \(CDEH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) \(\angle BCA = \angle ACS\).
Ta có \(\angle CDE = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle CDB = {90^0}\).
Xét tứ giác \(ADCB\) có : \(\angle CDB = \angle CAB = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(ADCB\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle BDA = \angle BCA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\)).
Tứ giác \(CSDM\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CM \Rightarrow \angle MCS = \angle ADM = \angle BDA\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
\( \Rightarrow \angle BCA = \angle MCS = \angle ACS\,\,\left( {dpcm} \right)\).
