Cho tam giác ABC với AB < AC ngoại tiếp đường tròn ( O;R ) Đường tròn
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC với AB < AC ngoại tiếp đường tròn \(\left( O;R \right)\) Đường tròn \(\left( O;R \right)\) tiếp xúc với các cạnh BC; AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn \(\left( O;R \right)\) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O;R \right)\) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F.
1) Chứng minh tam giác BOE vuông và \(EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}\)
2) Gọi P, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, AD. Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh \(AQ=2KP\)
3) Gọi A1 là giao điểm của AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC, C1 là giao điểm CO với cạnh AB và \(\left( {{O}_{1}};{{R}_{1}} \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh \(\frac{1}{A{{A}_{1}}}+\frac{1}{B{{B}_{1}}}+\frac{1}{C{{C}_{1}}}<\frac{2}{R-O{{O}_{1}}}\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1) Áp tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OE là OB lần lượt là phân giác của các góc \(\widehat{ION}\) và \(\widehat{NOD}\)
Mà \(\widehat{ION}\) và \(\widehat{NOD}\) là hai góc kề bù \(\Rightarrow OE\bot OB\Rightarrow \Delta BOE\) vuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(EN.BN=O{{N}^{2}}={{R}^{2}}\)
Mà \(EN=EI;\,\,BN=BD\Rightarrow EI.BD={{R}^{2}}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Chứng minh tương tự ta có tam giác FOC vuông tại O và \(FI.CD={{R}^{2}}\)
Vậy \(EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}\)
2) Ta có \(EF//BC\ \ \left( \bot ID \right)\) nên theo định lý Ta-let ta có : \(\frac{IF}{QC}=\frac{AF}{AC}=\frac{FE}{BC}\ \ \ \ \left( 1 \right)\)
Lại có : \(EI.BD=FI.CD\ \ \left( cmt \right)\Rightarrow \frac{FI}{BD}=\frac{EI}{CD}=\frac{FI+EI}{BD+DC}=\frac{EF}{BC}\ \ \ \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{FI}{QC}=\frac{FI}{BD}\Rightarrow QC=BD.\)
Mà \(CP=CQ+QP,\ \ BP=DB+DP,\ \ CP=PB\Rightarrow QP=PD.\)
Hay \(P\) là trung điểm của đoạn \(QD.\)
Xét \(\Delta ADQ\) có \(P\) là trung điểm của \(QD\ \ \ \left( cmt \right)\) và \(K\) là trung điểm của \(AD\ \ \left( gt \right).\)
\(\Rightarrow PK\) là đường trung bình của \(\Delta AQD.\)
\(\Rightarrow PK=\frac{1}{2}AQ\ \ hay\ \ AQ=2PK\ \ \ \left( dpcm \right).\)
