Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Các đường cao AD,BE,CF của t
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(AB < AC.\) Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\)cắt nhau tại điểm \(H.\) Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DHEC,\) trên cung nhỏ \(EC\) của đường tròn (O) lấy điểm \(I\) (khác điểm \(E\)) sao cho \(IC > IE.\) Đường thẳng \(DI\) cắt đường thẳng \(CE\) tại điểm \(N,\)đường thẳng \(EF\)cắt đường thẳng \(CI\) tại điểm \(M.\)
a) Chứng minh rằng \(NI.ND = NE.NC\)
b) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) vuông góc với đường thẳng \(CH.\)
c) Đường thẳng \(HM\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(K\,\,\left( {K \ne H} \right),\) đường thẳng \(KN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(G\,\,\left( {G \ne K} \right),\) đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(T.\) Chứng minh rằng ba điểm \(H,T,G\) thẳng hàng.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh rằng \(NI.ND = NE.NC.\)
Xét \(\Delta NDE\)và \(\Delta NCI\)có:
\(\widehat {END} = \widehat {INC}\)(đối đỉnh)
\(\widehat {EDN} = \widehat {ICN}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EI\))
\( \Rightarrow \Delta NDE \sim \Delta NCI\,\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{ND}}{{NC}} = \frac{{NE}}{{NI}} \Rightarrow NI.ND = NE.NC\)(đpcm).
b) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) vuông góc với đường thẳng \(CH.\)
Do các tứ giác \(BFEC,DEIC,ABDE\)nội tiếp nên: \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB} = \widehat {DIE}\).
Có \(\widehat {MEC} = \widehat {ABC} = \widehat {DEC} = \widehat {DIC} \Rightarrow MENI\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \widehat {DIE} = \widehat {EMN} \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {EMN}\)
Mà \(\widehat {AFE},\,\,\,\widehat {EMN}\) là hai góc so le trong
\( \Rightarrow MN//AB\)
Lại có: \(CH \bot AB \Rightarrow CH \bot MN\) (đpcm).
c) Đường thẳng \(HM\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(K\,\,\left( {K \ne H} \right),\) đường thẳng \(KN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(G\,\,\left( {G \ne K} \right),\) đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(T.\) Chứng minh rằng ba điểm \(H,T,G\) thẳng hàng.
Xét \(\Delta ENM\)và \(\Delta TNC\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {EMN} = \widehat {EIN} = \widehat {NCT}\\\widehat {ENM} = \widehat {TNC}\\ \Rightarrow \Delta ENM \sim \Delta TNC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{NE}}{{NT}} = \frac{{NM}}{{NC}} \Rightarrow NC.NE = NM.NT\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta ENK\) và \(\Delta GNC\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {KEN} = \widehat {CGN}\\\widehat {ENK} = \widehat {GNC}\\ \Rightarrow \Delta ENK \sim \Delta GNC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{NE}}{{NG}} = \frac{{NK}}{{NC}} \Rightarrow NC.NE = NG.NK\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow NM.NT = NG.NK \Rightarrow \frac{{NK}}{{NT}} = \frac{{NM}}{{NG}}\)
\( \Rightarrow \Delta TGN \sim \Delta KMN\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {KMN} = \widehat {TGN}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Mà \(\widehat {KMN} = \widehat {HCK}\) (cùng phụ với \(\widehat {KHC}),\)
\(\widehat {\,HCK} = \widehat {HGN}\,\,\left( { = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,HK} \right) \Rightarrow \widehat {KMN} = \widehat {HGN}\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) ta có \(\widehat {TGN} = \widehat {HGN} \Rightarrow H,T,G\) thẳng hàng.
