Cho tam giác ABC ( CA>CB ) nội tiếp nửa đường tròn tâm O đường kính
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\ \ \left( CA>CB \right)\) nội tiếp nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Gọi \(H\) là đường vuông góc hạ từ \(A\) đến tiếp tuyến tại \(C,\ \ AH\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(M.\) Đường vuông góc với \(AC\) kẻ từ \(M\) cắt \(AC\) tại \(K\) và \(AB\) tại \(P.\)
a) Chứng minh rằng: tứ giác \(MKCH\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(AC\) là phân giác góc \(MAB.\)
c) Tìm điều kiện tam giác \(\Delta ABC\) để \(M,\ K,\ O\) thẳng hàng.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh rằng: tứ giác \(MKCH\) nội tiếp.
Do MP vuông góc AC và AH vuông góc CH nên: \(\angle MHC=\angle MKC={{90}^{0}}\)
\(\Rightarrow \angle MHC+\angle MKC={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)
Do đó tứ giác MKCH nội tiếp a(dhnb).
b) Chứng minh \(AC\) là phân giác góc \(MAB.\)
Ta có: \(\angle HCA=\angle CBA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung cùng chắn cung \(AC\)).
Lại có: \(\left\{ \begin{align} & \angle HAC+\angle ACH={{90}^{0}} \\ & \angle CAB+\angle CBA={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle HAC=\angle CAB\)
Hay \(AC\) là phân giác góc \(MAB.\) (đpcm)
c) Tìm điều kiện tam giác \(\Delta ABC\) để \(M,\ K,\ O\) thẳng hàng.
Để M, K, O thẳng hàng thì O phải trùng với P do P là giao điểm MK với AB.
Khi đó do OC // AH (cùng vuông với tiếp tuyến tại C), hơn nữa tam giác AMP cân nên AK là đường trung tuyến, do vậy MK = KP.
Tới đây thì AMCO là hình thoi (hai đường chéo vuông góc với nhau), do vậy MC // AB.
Ta có: \(\angle HMC=\angle HAB=2\angle MAC=2\angle HCM\) (Tính chất tiếp tuyến HC và góc chắn cung MC).
Do vậy tam giác HCM vuông, nên:
\(\left\{ \begin{align} & \angle HMC={{60}^{0}} \\ & \angle HCM={{30}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle CAB=\angle CAM=\angle HCM={{30}^{0}}.\)
Vậy để M, K, O thẳng hàng thì tam giác ABC là tam giác vuông tại C có \(\angle CAB={{30}^{0}}.\)
