Cho sin a + cos a = m. Tính A = 1 + cos 2a cot a 2 - tan a 2 ?
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\sin a + \cos a = m\). Tính \(A = {{1 + \cos 2a} \over {\cot {a \over 2} - \tan {a \over 2}}}\) ?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(A = \frac{{1 + \cos 2a}}{{\cot \frac{a}{2} - \tan \frac{a}{2}}} = \frac{{2{{\cos }^2}a}}{{\frac{{\cos \frac{a}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}}} - \frac{{\sin \frac{a}{2}}}{{\cos \frac{a}{2}}}}} = \frac{{2{{\cos }^2}a}}{{\frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}}} = \frac{{2{{\cos }^2}a}}{{\frac{{\cos a}}{{\frac{1}{2}\sin a}}}} = \sin a\cos a = \frac{1}{2}\sin 2a\,\,\,\,\,(*)\)
Ta có: \(\sin a + \cos a = m \Rightarrow {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {m^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}a + 2\sin a\cos a + {\cos ^2}a = {m^2} \Leftrightarrow 1 + \sin 2a = {m^2} \Leftrightarrow \sin 2a = {m^2} - 1\).
Thay vào (*): \(A = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\)
Chọn: A