Cho phương trình:x^2-mx-1=0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình:\({{x}^{2}}-mx-1=0\) (1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức: \(P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}}\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a)
Phương trình: x2 – mx – 1 = 0 có a = 1; b = -m; c = -1 Ta có: \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -m \right)}^{2}}-4.1.\left( -1 \right)={{m}^{2}}+4>0\) với mọi m.\(\Rightarrow \)phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b)
Cách 1: Theo hệ thức vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-m}{1}=m \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1 \\ \end{align} \right.\)
Ta có:
\(\begin{align} P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}} \\ =\frac{{{x}_{2}}.\left( x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1 \right)-{{x}_{1}}.\left( x_{2}^{2}+{{x}_{ 2}}-1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =\frac{x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-{{x}_{2}}-{{x}_{1}}.x_{2}^{2}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =\frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}.\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ ={{\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).\left( -1+1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}\left( do{{:}^{{}}}^{{}}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \right) \\ =\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).0}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =0 \\ \end{align}\)
Cách 2:
Do x1 là nghiệm của (1) \(\Leftrightarrow \)\(x_{1}^{2}-m{{x}_{1}}-1=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=m{{x}_{1}}+1\) (*) Do x2 là nghiệm của (1) \(\Leftrightarrow \) \(x_{2}^{2}-m{{x}_{2}}-1=0\Leftrightarrow x_{2}^{2}=m{{x}_{2}}+1\) (**) Thế (*) và (**) vào biểu thức \(P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}}\)Ta được:
\(\begin{align} P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}} \\ =\frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}} \\ =\frac{{{x}_{1}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{1}}}-\frac{{{x}_{2}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{2}}} \\ =\left( m+1 \right)-\left( m+1 \right) \\ =0 \\ \end{align}\)
