Cho phương trình x^3-x-1=0. Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình đ
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0 \). Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình đã cho.
1. Chứng minh \({{x}_{0}}>0 \)
2. Tính giá trị của biểu thức \(M= \frac{x_{0}^{2}-1}{x_{0}^{3}} \sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2} \)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1. Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-x-1\) liên tục trên R ta có \(\left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)={{1}^{3}}-1-1=-1<0 \\ & f\left( 2 \right)={{2}^{3}}-2-1=5>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)<0\Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 1 ít nhất 1 nghiệm \({{x}_{0}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}>0\).
Cách 2:
\({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\Rightarrow x_{0}^{3}-{{x}_{0}}=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}\left( x_{0}^{2}-1 \right)=1\) hay \(x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1.\)
+) Khi \({{x}_{0}}=0\Leftrightarrow 0=1\) (vô lý).
+) Khi \({{x}_{0}}<0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x_{0}^{2}<1\Leftrightarrow -1<{{x}_{0}}<1 \\ & {{x}_{0}}+1<0\Leftrightarrow {{x}_{0}}<-1 \\ \end{align} \right.\) (vô lý).
\(\Rightarrow {{x}_{0}}>0\ \ \left( dpcm \right).\)
2. Do \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\) nên \(x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1=0\Leftrightarrow x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1\)
\(\begin{align} & \Rightarrow M=\frac{x_{0}^{2}-1}{{{x}_{0}}+1}\sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2}=\left( {{x}_{0}}-1 \right)\sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2} \\ & Do\,\,{{x}_{0}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}-1>0 \\ & \Rightarrow M=\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}\left( 2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2 \right)}\, \\ & \Rightarrow M=\sqrt{\left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \right)\left( 2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2 \right)} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}+3x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}-4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}-x_{0}^{3}-2x_{0}^{2}-{{x}_{0}}+2} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}-x_{0}^{3}+{{x}_{0}}+1+1} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2{{x}_{0}}\left( x_{0}^{3}{{x}_{0}}-1 \right)-\left( x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1 \right)+1} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2{{x}_{0}}.0-0+1}=1 \\ \end{align}\)
Chọn D
