Cho phương trình: x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz( 1 ). Mỗi bộ số ( x;y;z ) là
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình: \({x^2} + {y^2} + {{\rm{z}}^2} = 3xy{\rm{z}}\,\,\,\,\left( 1 \right){\rm{.}}\) Mỗi bộ số \(\left( {x;y;z} \right)\) là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình trên được gọi là nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng \(\left( {x;y;y} \right)\) của (1).
b) Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương \(\left( {a;b;c} \right)\) của (1) và thỏa mãn điều kiện \(\min \left\{ {a;b;c} \right\} > 2017\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là ( x; y; y). Khi đó thay vào phương trình trên ta được:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {y^2} = 3x{y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 3x{y^2} \Leftrightarrow {x^2} = {y^2}\left( {3x - 2} \right)\\ \Rightarrow {x^2} \vdots {y^2} \Rightarrow x = ty\\ \Rightarrow {t^2}{y^2} + 2{y^2} = 3ty.{y^2} \Leftrightarrow {t^2} + 2 = 3ty \Rightarrow 2 = t\left( {3y - t} \right) \Rightarrow 2 \vdots t.\end{array}\)
Với \(t = 1\) ta suy ra \(x = y = 1.\)
Với \(t = 2\) ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\6 = 6y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương dạng (x ; y ; y) là \(\left( {1;1;1} \right);\,\,\left( {2;1;1} \right)\).
b) Ta có : x = 1 ; y = 2 ; z = 5 là 1 nghiệm của phương trình đã cho.
Giả sử a là số nhỏ nhất trong 3 số đã cho thỏa mãn : \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3abc.\)
Xét phương trình :
\({\left( {a + d} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = 3(a + d)bc \Rightarrow 2ad + {d^2} = 3bcd \Rightarrow d = 3b - 2a.\)
Do đó phương trình (1) có nghiệm (a’; b ; c) với a’ = a + d.
Do a < b < c nên min{ a’; b; c} > min{ a, b, c}.
Lặp lại quá trình trên không quá 2017 lần ta được min{a, b, c} > 2017.
