Cho phương trình: x^2 - mx + m - 1 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của: M =
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0 \). Tìm giá trị lớn nhất của: \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2 \left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} \) với \({x_1} \), \({x_2} \) là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) có:
\(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)
Để phương trình trên có hai nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\)
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = m \cr {x_1}{x_2} = m - 1\cr} \right.\) (1)
Theo đề bài ta có: \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {x_1^2 + x_1^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thế (1) vào (2) ta được:
\(\eqalign{& M = {{2\left( {m - 1} \right) + 3} \over {{m^2} + 2}} = {{2m + 1} \over {{m^2} + 2}} = {{{m^2} + 2 - {m^2} + 2m - 1} \over {{m^2} + 2}} = 1 - {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {{m^2} + 2}} \le 1 \cr & \Rightarrow Max\,\,M = 1. \cr} \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {{m^2} + 2}} = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)
Chọn A.
