Cho phương trình x^2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số) Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số)
Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số)
Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\)
Ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Khi đó :
\(\begin{array}{l}B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\\B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} + 2}}\\B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}\\B = \frac{{2\left( {m - 1} \right) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\\ \Rightarrow 2B + 1 = 2.\frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} + 1 = \frac{{4m + 2 + {m^2} + 2}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{m^2} + 4m + 4}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}}\end{array}\)
Ta có \({\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0;\,\,{m^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow 2B + 1 \ge 0 \Leftrightarrow B \ge - \frac{1}{2}\)
Vậy \({B_{\min }} = - \frac{1}{2}\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = - 2\).
Chọn A.
