Cho phương trình x^2 - ( m - 2 )x - 6 = 0( 1 ) (với m là tham số). a) Giải phương trình ( 1 ) với
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 6 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(m\) là tham số).
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(m = 0.\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right).\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(x_2^2 - {x_1}{x_2} + \left( {m - 2} \right){x_1} = 16.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) với \(m = 0.\)
Thay \(m = 0\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 6 = 0\)
Phương trình có: \(\Delta ' = 1 + 6 = 7 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1 + \sqrt 7 \\{x_2} = - 1 - \sqrt 7 \end{array} \right..\)
Vậy với \(m = 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 7 ;\,\, - 1 + \sqrt 7 } \right\}.\)
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có: \(\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4.6 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 24\)
Vì \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 24 > 0\,\,\forall m \Leftrightarrow \Delta > 0\,\,\forall m\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
c) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right).\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(x_2^2 - {x_1}{x_2} + \left( {m - 2} \right){x_1} = 16.\)
Với mọi \(m\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1}{x_2} = - 6\end{array} \right..\)
Ta có \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right) \Rightarrow x_1^2 - \left( {m - 2} \right){x_1} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){x_1} = x_1^2 - 6\,\,\,\left( * \right)\)
Theo đề bài ta có: \(x_2^2 - {x_1}{x_2} + \left( {m - 2} \right){x_1} = 16\,\,\,\,\left( {**} \right)\)
Thay \(\left( * \right)\) vào \(\left( {**} \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {**} \right) \Leftrightarrow x_2^2 - {x_1}{x_2} + x_1^2 - 6 = 16\\ \Leftrightarrow x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1}{x_2} = 22\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 22\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 3.\left( { - 6} \right) = 22\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 2\\m - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 0\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(m = 0,\,\,m = 4\) là các giá trị thỏa mãn bài toán.
Chọn D.
