Cho phương trình x^2 + ax + b + 1 = 0 với ab là tham số. Tìm giá trị của ab để phương trình trên có
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({x^2} + ax + b + 1 = 0\) với \(a,\,\,b\) là tham số. Tìm giá trị của \(a,\,\,b\) để phương trình trên có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 3\\x_1^3 - x_2^3 = 9\end{array} \right.\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} + ax + b + 1 = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} \Rightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4\left( {b + 1} \right) \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = b + 1\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} + )\,\,{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \Leftrightarrow 9 = {a^2} - 4\left( {b + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ + )\,\,x_1^3 - x_2^3 = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9 = {3^3} + 3\left( {b + 1} \right).3 \Leftrightarrow - 18 = 9\left( {b + 1} \right) \Leftrightarrow b + 1 = - 2 \Leftrightarrow b = - 3\end{array}\)
Thay \(b = - 3\) vào (1) ta có: \({a^2} - 4\left( { - 3 + 1} \right) = 9 \Leftrightarrow {a^2} + 8 = 9 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1\).
Thử lại: \({a^2} = 1;\,\,b = - 3 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 1 - 4\left( { - 3 + 1} \right) = 9 > 0\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy \(\left( {a;b} \right) = \left( {1; - 3} \right)\) hoặc \(\left( {a;b} \right) = \left( { - 1; - 3} \right)\).
Chọn A.
