Cho phương trình: x^2 + (2m - 3)x - m + 1 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm x1x2
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta = {(2m - 3)^2} + 4(m - 1) = 4{m^2} - 12m + 9 + 4m - 4\\ = 4{m^2} - 8m + 5 = {\left( {2m - 2} \right)^2} + 1 > 0\,\forall m\end{array}\)
Do đó phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - 2m\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có : \(\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) = 5\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 = 5\\ \Leftrightarrow 1 - m - 3\left( {3 - 2m} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 5m = 4 \Leftrightarrow m = \frac{4}{5}.\end{array}\)
Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là : \(m = \frac{4}{5}.\)
Chọn B.
