Cho phương trình x^2 + 2( m - 2 )x + m^2 - 4m = 0( 1 ) (với x là ẩn số). Tìm các giá trị của m để ph
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (với \(x\) là ẩn số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Có \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - {m^2} + 4m = {m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 4m = 4 > 0\,\,\,\forall m\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 2} \right) = - 2m + 4\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m\end{array} \right..\)
Theo bài ra ta có: \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{3}{{{x_1}}} - \frac{3}{{{x_2}}} - {x_1} + {x_2} = 0\,\,\,\,\,\left( {{x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0,m \ne 4} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\frac{3}{{{x_1}{x_2}}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{{x_1}{x_2}}} + 1 = 0\,\,\,\left( {do\,\,\,{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_2} - {x_1} \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{{m^2} - 4m}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m - m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) - \left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\left( {tm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 1;m = 3\) là các giá trị thỏa mãn bài toán.
Chọn B.
