Cho phương trình A = ( 1x - căn x + 1 căn x - 1 ): căn x + 1( căn x - 1 )^2 (với x > 0x ne
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) (với \(x > 0,x \ne 1\) )
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A - 9\sqrt x \)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Rút gọn biểu thức A.
\(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) (với \(x > 0,x \ne 1\) )
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A - 9\sqrt x \)
\(\begin{array}{l}P = A - 9\sqrt x \\ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x \\ = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\end{array}\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương \(\frac{1}{{\sqrt x }};9\sqrt x \) ta có: \(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6\)
Từ đó ta có: \(1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là -5. Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)
