Cho hypebol (H):x^2a^2 - y^2b^2 = 1 có hai đỉnh A1A2. Điểm M di động trên (H) và có hình chiếu vuông
Câu hỏi
Nhận biếtCho hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai đỉnh \({A_1},\,\,{A_2}\). Điểm M di động trên (H) và có hình chiếu vuông góc xuống Ox là P. Biết \(P{M^2} = k.\overrightarrow {P{A_1}} .\overrightarrow {P{A_2}} \) với mọi vị trí của M trên (H), khi đó \(k = ?\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai đỉnh \({A_1}( - a;0),\,\,{A_2}(a;0)\).
Hình chiếu của \(M({x_0};{y_0})\) xuống Ox là \(P({x_0};0)\) , \(\overrightarrow {P{A_1}} = \left( { - a - {x_0};0} \right),\overrightarrow {P{A_2}} = \left( {a - {x_0};0} \right)\)
\(M({x_0};{y_0}) \in (H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có: \(P{M^2} = k.\overrightarrow {P{A_1}} .\overrightarrow {P{A_2}} \Leftrightarrow {y_0}^2 = k.\left( { - a - {x_0}} \right).\left( {a - {x_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0}^2 = k{x_0}^2 - k{a^2} \Leftrightarrow k{x_0}^2 - {y_0}^2 = k{a^2} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{k{a^2}}} = 1\), \(\left( {k \ne 0} \right)\)
Mà \(M({x_0};{y_0})\)là điểm tùy ý trên (H) nên ta có: \(k{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow k = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\).
Chọn: A