Cho hypebol (H):x^2 - y^29 = 1. Tìm điểm M in (H) M nằm trong góc phần tư thứ II sao cho: M nhìn hai
Câu hỏi
Nhận biếtCho hypebol \((H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm điểm \(M \in (H)\), M nằm trong góc phần tư thứ II, sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow {x_0}^2 - \frac{{{y_0}^2}}{9} = 1\,\,\,(1)\)
\((H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {10} \end{array} \right. \Rightarrow {F_1}( - \sqrt {10} ;0);{F_2}(\sqrt {10} ;0)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - \sqrt {10} - {x_0}; - {y_0}} \right);\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {\sqrt {10} - {x_0}; - {y_0}} \right)\)
Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông \(\widehat { \Rightarrow {F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( { - \sqrt {10} - {x_0}} \right).\left( {\sqrt {10} - {x_0}} \right) + \left( { - {y_0}} \right).\left( { - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 - 10 + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 10\,\,(2)\)
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 - \frac{{{y_0}^2}}{9} = 1\\{x_0}^2 + {y_0}^2 = 10\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{{19}}{{10}}\\{y_0}^2 = \frac{{81}}{{10}}\end{array} \right.\)
Vì \(M\) nằm trong góc phần tư thứ II nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - \sqrt {\frac{{19}}{{10}}} \\{y_0} = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( { - \sqrt {\frac{{19}}{{10}}} ;\frac{9}{{\sqrt {10} }}} \right)\).
Chọn: D