Cho hệ phương trình: lm x + (3m - 2)y + m - 3 = 02x + (m + 1)y - 4 = 0 .. Hệ thức liên hệ giữa x
Câu hỏi
Nhận biếtCho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y + m - 3 = 0\\2x + (m + 1)y - 4 = 0\end{array} \right.\).
Hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với tham số m khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y + m - 3 = 0\\2x + (m + 1)y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y = 3 - m\\2x + (m + 1)y = 4\end{array} \right.\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3m - 2}\\2&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 5m + 4 = \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - m}&{3m - 2}\\4&{m + 1}\end{array}} \right| = \left( {3 - m} \right)\left( {m + 1} \right) - 4\left( {3m - 2} \right) = - m + 11 = \left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3 - m}\\2&4\end{array}} \right| = 4m - 6 + 2m = 6m - 6 = 6\left( {m - 1} \right)\end{array}\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{\left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \frac{{m + 11}}{{4 - m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{6\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \frac{6}{{m - 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)y = 6 \Leftrightarrow my = 6 + 4y \Leftrightarrow m = \frac{{6 + 4y}}{y} = \frac{6}{y} + 4\)
Thay vào (1) ta được: \(x = \left( {\frac{6}{y} + 4 + 11} \right):\left( {4 - \frac{6}{y} - 4} \right) = - \frac{{6 + 15y}}{6} = - 1 - \frac{{15}}{6}y\)
Chọn C.